到底什麼是信賴區間

2024 年 10 月，蓋洛普（Gallup）訪了 1,023 位美國成年人，報出賀錦麗的施政滿意度是 45%，抽樣誤差 ±4 個百分點，信心水準 95%。隔天的報導把它翻成一句人人都懂的話：她的真實支持度，有 95% 的機率落在 41% 到 49% 之間。

這句話我從前也講，講得很順。它只有一個問題：是錯的。而且不是小地方講錯，是把整個信賴區間的意思讀反了。那條 41% 到 49% 的帶子，一旦算出來就是死的，它要麼含著真值、要麼不含，沒有「95% 機率」這回事。95% 這個數字，說的根本不是這一段區間。

先講清楚我沒有要為難誰。「我就是想知道真值在不在這段裡的機率」，這個願望非常合理，每個看到民調的人心裡想問的就是這一句，而手上這個工具算的並不是這件事。要看清楚差在哪，得把區間親手造一次。

先把區間造出來

假設你在估一個平均數。母體平均是 $\mu$，你不知道它；你有一組 $n$ 筆資料，樣本平均 $\bar X$、樣本標準差 $s$。有一個量，它把「你不知道的 $\mu$」和「你算得出的 $\bar X$」綁在一起：

$$T = \frac{\bar X - \mu}{s / \sqrt{n}}$$

這個 $T$ 有個好性質——不管 $\mu$ 到底是多少，只要資料近似常態，$T$ 就服從自由度 $n-1$ 的 $t$ 分佈。它的分佈形狀跟未知的 $\mu$ 無關。這種「裡面帶著未知參數，分佈卻固定」的量，叫做樞紐量（pivotal quantity），是整個構造的樞紐。

因為 $T$ 的分佈是固定的，我可以在它身上寫一句穩穩成立的機率話。令 $t^* = t_{0.975,\,n-1}$（$t$ 分佈中間夾住 95% 的那個臨界值）：

$$P\!\left( -t^* \le \frac{\bar X - \mu}{s / \sqrt{n}} \le t^* \right) = 0.95$$

到這裡都還沒出事。接著做一步純代數：把中間那串不等式解開，讓 $\mu$ 單獨站到中間去。兩邊乘 $s/\sqrt n$、移項、變號，得到

$$P\!\left( \bar X - t^* \frac{s}{\sqrt n} \;\le\; \mu \;\le\; \bar X + t^* \frac{s}{\sqrt n} \right) = 0.95$$

那個 $\bar X \pm t^*\, s/\sqrt n$，就是信賴區間。民調那條 ±4 個百分點的帶子，是同一件事的比例版本：把每個受訪者答「滿意」記成 1、答「不滿意」記成 0，45% 就是這串 0 與 1 的平均，它的標準誤是 $\sqrt{p(1-p)/n}$。代進 $p=0.45$、$n=1023$，$1.96$ 個標準誤大約是 3 個百分點；蓋洛普報 ±4，是因為實際的誤差幅度還要吃進加權與抽樣設計的效應，比課本公式的裸值大一點。骨架則完全一樣。

現在看那句機率話的主詞。$P(\dots) = 0.95$ 這一行，寫下來的時候 $\mu$ 是固定的常數，會動的是 $\bar X$，它還沒觀測，還是個隨機變數。95% 講的是：在還沒抽樣、$\bar X$ 還會這裡那裡亂跳的時候，「$\bar X$ 落得夠近、使得算出來的區間剛好罩住 $\mu$」這件事，發生的機率是 95%。 機率是掛在飄動的 $\bar X$ 身上的。

然後你抽了樣，$\bar X = 45\%$，$s$ 也定了，區間算出來是 41% 到 49%。這一步把 $\bar X$ 從隨機變數換成了一個手上的數字。$\bar X$ 不再動，$\mu$ 本來就不動，區間的兩個端點也定死了。剛才那 95% 是描述「$\bar X$ 亂跳時罩不罩得住」的，現在什麼都不跳了，它就沒有地方可站。41% 到 49% 這段，要麼含 $\mu$、要麼不含，是非零即一的事實，不是機率。誤讀就生在「代入數字」這一步：把一句講程序長期行為的話，硬讀成講眼前這一段的話。

那句 95% 是覆蓋率

把上面那句話畫出來就一目了然。母體平均 $\mu$ 是一條固定的直線；每抽一次樣，就得到一段區間。抽一次、畫一條，疊上去：

疊到夠多，你會看到大約 95% 的區間罩住那條線，大約 5% 沒罩到。95% 是這一整疊區間的性質，也就是「照這個程序做，長期而言罩得住的比例」，這叫覆蓋率。它描述的是製造區間的那台機器，不是機器某一次吐出來的那一段。你手上的 41% 到 49% 是這疊裡的某一條，它自己不帶機率；帶 95% 的是整個程序。

順手也把一個更土的誤讀清掉：這段區間畫的不是資料的鋪開。它是平均數的不確定範圍，會隨著 $n$ 變大而收窄；資料本身的散佈是 $s$，不會因為你多收了樣本就變小。把信賴區間當成「大部分個體落在這裡」來讀，連問的對象都弄錯了。

把滑桿撥到 90% 或 99%，看區間跟著變窄、變寬。再撥動 $n$。無論怎麼撥，那個百分比講的都是「這一疊裡罩得住的比例」，從來不是「你選中的那一條有多少機率是對的」。

造出它的人，當場就否決了那個讀法

Jerzy Neyman 1937 年那篇奠定信賴區間的論文，在提出構造的同一頁，就自己把那個誘人的讀法擋掉了。他先說：長期照這套規則做陳述，大約有 $100a\%$ 會是對的。然後他自問自答——能不能說，對這一個已經算出來的區間，參數落在裡面的機率等於信賴係數？答案顯然是不行。參數是一個未知的常數，關於它的值不能做任何機率陳述。

信賴區間從出生那一刻起，就不是為了回答「這一段罩住真值的機率」而造的。它回答的是一個關於程序的問題，Neyman 講得再清楚不過。

頻率派內部的裂縫

到這裡也許你想說：好吧，那就把 95% 記成「長期罩得住的比例」，別套在單一區間上，不就沒事了？問題是，就算你嚴守這條紀律，頻率派自己內部還有兩道裂縫，不必請貝氏出場就看得到。

第一道，來自一個看起來很無害的問題：兩個平均數的比值。這種估計在現實裡到處都是：劑量反應的半數效應、兩組成本的比、迴歸斜率。它的 95% 信賴集由 Fieller 的方法給出，而這個合法程序算出來的東西，可以是一段區間、一段區間的補集，也可以是整條實數線；而且為了守住 95% 的覆蓋率，它必然以正的機率成為無限。

拉滑桿把分母的訊噪比壓低，分母的平均相對於它的誤差越來越小、越來越可能跨過零。信賴集先是一段有限區間，接著中間被挖空、剩兩端無限，最後脹成整條實數線。整條實數線的意思是「任何值都相容」，資訊量是零。這不是誰算錯了，是這個守規矩的程序，在分母可能為零時，為了維持 95% 覆蓋率必須付出的代價。一個合法的 95% 信賴程序，有正機率交給你一個什麼都沒說的答案。

第二道裂縫更狠，它直接打在「這一段區間有多可信」上。Morey 等人 2016 年用一個潛艇的故事講它——先說清楚，這幾位是貝氏立場，文章結論主張推論時乾脆別用信賴區間這套方法；我這裡只借他們的示範，不接那個判決。

故事是這樣：一艘 10 公尺長的潛艇沉在海底，救援艙門在船身正中央，位置未知。艙門會放出氣泡，氣泡沿著船身、在艙門左右各 5 公尺的範圍內均勻地冒上來。你只有一次下潛救援的機會。頭兩個氣泡浮出來，位置是 $x_1$、$x_2$。頻率派用它們造一段 50% 信賴區間：兩泡之間那一段（$\bar x \pm |x_1 - x_2|/2$）。它是貨真價實的 50% 程序，兩泡落在艙門異側的機率剛好一半。

拖動兩個氣泡看看。兩泡靠得很近時，這段區間很窄，統計學家會說「很精確」，但兩個離得那麼近的氣泡，其實對艙門在哪裡幾乎沒提供資訊，窄得毫無道理。反過來，把兩泡拉到相距超過 5 公尺：由於氣泡最遠只能落在艙門外 5 公尺，兩泡一旦相距超過 5 公尺，艙門必然被夾在中間，這時 50% 區間保證 100% 含艙門。同一個合法的 50% 程序，手上這一段可以確定是對的，也可以幾乎確定是錯的，全看兩泡的間距。

Morey 把常見的誤讀拆成三個有名字的迷思。精確度誤：以為窄區間等於精確；潛艇裡最窄的區間反而最沒資訊。似真誤：以為區間內的值比區間外的值更可能為真；兩泡相距近 10 公尺時，區間內幾乎全是不可能的位置。根本信賴謬誤：把「隨機程序長期覆蓋 50%」讀成「這一段觀測到的區間有 50% 機率含真值」，也就是報紙對民調犯的那個錯。

這三個迷思背後是同一件事，Fisher 1959 年就講過，叫相關子集：你觀測到的資料，往往落在一個「區間罩不罩得住真值的機率，跟整體平均很不一樣」的子集裡；氣泡的間距就標出了這種子集。回頭看覆蓋率那張圖：把兩千條區間依長度排序後，最窄的一半只罩住 92%，最寬的一半罩住 98%。它們全都是「95% 區間」，覆蓋率卻分別在 95% 的下面和上面。你手上那一條到底比較像哪一半，區間的長度早就漏了口風。

連專家都答錯

如果你到這裡覺得「這些是刁鑽的邊角案例，日常研究裡不至於」，Hoekstra 等人 2014 年的一個調查會讓人不太好受。他們給受試者一句虛構情境：某教授報告一個平均數的 95% 信賴區間是 0.1 到 0.4；接著六句關於這個區間的陳述，請你逐句判對錯。

受測的 442 位大學生、加上 120 位研究者（博士生與教職），兩組平均都認可了三句以上；統計訓練跟答對率沒有關係，研究者幾乎沒贏過那些還沒修過推論統計的大一新生，而那六句沒有一句成立。1986 年也做過一次，Oakes 拿六句對顯著 p 值的誤讀去問 70 位學術心理學家，平均也認可了約 2.5 句，完全答對的只有一成上下。

自己做做看，六句都在下面。做完再看正解：

六句錯在同一個地方。信賴區間不直接告訴你參數的任何性質；它告訴你的是「程序」的性質，頻率派的技術都是如此。每一句誤讀，都是想從一段程序性的陳述裡，擠出一句關於這個參數、這一次的話。擠不出來。

這樣說對，那樣說錯

把整篇的分寸收攏成一張對照表：同一個信賴區間，哪些說法守得住，哪些是最常撞見的誤讀。每條誤讀都配一句該怎麼改。

把願望正名

繞了一圈，回到最前面那個合理的願望：我就是想知道，真值落在這段裡的機率。這個問題有答案，只是它屬於另一套框架。你要的那個東西叫可信區間（credible interval）：給定模型與一個先驗，參數有 95% 的事後機率落在這一段裡；這一次說的就是這一段本身，而且真的是機率。它跟信賴區間長得像，回答的卻正好是你原本想問的那句。民調那條帶子，如果配上一個先驗、用貝氏的算法重畫，才會變成報紙以為它已經是的那個東西。（先驗怎麼進來、可信區間怎麼隨它移動，留給續篇。）

同一筆資料，兩段區間並排。數字上它們幾乎重合，讀法卻是兩回事：左邊說的是製造它的程序長期罩得住真值 95% 的時候，右邊才真的說參數有 95% 的事後機率在裡面。

該怎麼收？不是宣布「所以你該改當貝氏派」。頻率派這個工具精準地回答了一個定義清楚的問題：這套程序長期的覆蓋率是多少。壞的是把兩個框架的問題當成同一個，拿頻率派的區間去回答貝氏的問句。

近年有人連工具的名字都想改。2019 年，一份超過八百位科學家連署的《自然》評論直說：不能只因為 p 值大於門檻、或信賴區間含零，就下結論說「沒有差別」。同一個誤讀在科學文獻裡就是這個樣子。同一群人裡，Greenland 更進一步主張把它改叫相容區間（compatibility interval）：區間內的值，是在這個模型與假設下，比區間外的值更相容於資料的那些。這個名字把注意力從「有沒有跨過某條界線」，挪回到「整段區間裡的每個值，各有多相容」。

回到蓋洛普那句 45%、±4 個百分點。那條帶子把「這個估計有多少抽樣層面的搖晃」如實標了出來。被讀壞的是緊跟其後那句「有 95% 機率落在裡面」：95% 是製造區間那套程序長期的覆蓋率，講的不是眼前這一段。

資料來源

1. 1.Gallup（2024）。At 45%, Harris' Approval Rating Is Higher Than Biden's，Gallup News。2024 年 10 月 1 至 12 日的電訪，隨機抽樣 1,023 位美國成年人；賀錦麗（Kamala Harris）施政滿意度 45%。方法欄註明抽樣誤差為 ±4 個百分點、信心水準 95%。開場那條 41% 到 49% 的「誤差帶」就是一個 95% 信賴區間。原文
2. 2.Pew Research Center（2016）。Understanding the margin of error in election polls，Pew Research Center, Decoded / Short Reads。以一個候選人得票 48%、誤差 ±3 個百分點（95% 信心水準）的例子解釋抽樣誤差描述的是「結果離母體真值有多近」，並提醒「領先幅度大於個別候選人的誤差幅度」不足以斷定領先在統計上為真——即報導端最常見的誤讀。原文
3. 3.Jerzy Neyman（1937）。Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability，Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, vol. 231, pp.333-380。p.349（信賴區間的頻率解釋：長期而言，照這套規則做的陳述有 100a% 是對的；緊接著自問「對這一個已經算出來的區間，能不能說參數落在裡面的機率是 a」，並自答不能）。原文
4. 4.George Casella and Roger L. Berger（2002）。Statistical Inference (2nd edition)，Duxbury / Thomson Learning, Section 9.5.3 (Miscellanea)。兩個常態平均數的比值的 1-alpha 信賴集（Fieller）依分母訊噪比而定，可以是一段區間、一段區間的補集、或整條實數線；而且為了維持 1-alpha 的覆蓋率，它必然以正機率成為無限。這是頻率派內部、不靠貝氏就能指出的病態：一個合法的信賴程序，有正機率吐出「整條實數線」這種資訊量為零的答案。
5. 5.Richard D. Morey, Rink Hoekstra, Jeffrey N. Rouder, Michael D. Lee and Eric-Jan Wagenmakers（2016）。The fallacy of placing confidence in confidence intervals，Psychonomic Bulletin & Review, 23(1), pp.103-123。沉沒潛艇的思想實驗（救援艙門位置未知，氣泡在艙門左右各 5 公尺內均勻冒出）用來拆穿三個具名迷思：精確度誤（窄區間即精確）、似真誤（區間內的值比較可能）、根本信賴謬誤（隨機程序的 X% 覆蓋率被讀成這一段觀測區間也有 X%）。兩泡相距超過 5 公尺時，其 50% 程序算出的區間必定百分之百含艙門；相距極近時同寬區間幾乎不含——同一合法程序，手上這段可以確定對、也可以幾乎確定錯（相關子集，Fisher 1959）。圖 1 畫 200 條 N=2 的隨機 50% 區間，107 條（53.5%）含真值，依長度排序即見短區間幾乎不含、長區間幾乎都含。原文
6. 6.Rink Hoekstra, Richard D. Morey, Jeffrey N. Rouder and Eric-Jan Wagenmakers（2014）。Robust misinterpretation of confidence intervals，Psychonomic Bulletin & Review, 21(5), pp.1157-1164。受測者拿到一句虛構情境：某教授報告一個平均數的 95% 信賴區間為 0.1 到 0.4，隨後六句對這個區間的陳述，逐句判真假。六句全錯。樣本＝442 位尚未修過推論統計的大學一年級生、34 位碩士生、120 位研究者（博士生與教職）。三組平均都認可三句以上；統計訓練與表現無關，研究者幾乎沒贏過學生。原文 ↑1↑2
7. 7.Michael Oakes（1986）。Statistical Inference: A Commentary for the Social and Behavioural Sciences，Wiley, Chichester。更早的同型結果：70 位學術心理學家判讀一個顯著 p 值的六句陳述，平均認可約 2.5 句、完全正確者僅約 11%。是 Hoekstra 2014 信賴區間版自測的直接前身。原文
8. 8.Valentin Amrhein, Sander Greenland and Blake McShane（2019）。Scientists rise up against statistical significance (Retire statistical significance)，Nature, 567, pp.305-307。由三位作者主筆、超過八百位科學家連署的評論。主張顯著性被二分化地誤用，並直說：不能只因為 p 值大於門檻、或信賴區間含零，就下結論說「沒有差別」。這正是本文開場民調誤讀在科學文獻裡的成年版。作者聲明不是要禁用 p 值。原文
9. 9.Zad Rafi and Sander Greenland（2020）。Semantic and cognitive tools to aid statistical science: replace confidence and significance by compatibility and surprise，arXiv:1909.08579 [stat.ME], v7 (1 Oct 2020); also in BMC Medical Research Methodology, 20:244。把信賴區間正名為「相容區間」（compatibility interval）：區間內的參數值，是在背景假設下比區間外的值更「相容於資料」的那些；縮寫仍作 CI。這一步把注意力從「有沒有跨過某條界線」移到「整段區間裡的值各有多相容」，正是本文收尾要落到的地方。原文